Version du 20 décembre 2007 Tous les calculs sont à vérifier...

Exercice 1 : Fonction générattrice

Soit la fonction f définie par f(x) = 1 + xf(x) + 2x^{2}f(x). Calculez les termes de la suite récurrente associée.

Exercice 1 : Idées de résolution.

f(x) = 1 + xf(x) + 2x^{2}f(x) Exprimons f(x) en fonction de x on obtient : f(x)(1 − x − 2x^{2}) = 1. Donc

f(x) = \frac{1}{1 − x − 2x^{2}}

En cherchant les racines du polynôme 1 − x − 2x^{2} on obtient x_{1} = −1 x_{2} = \frac{1}{2}.

On cherchera donc deux valeurs α et β telles que

f(x) = \frac{1}{1 − x − 2x^{2}} = \frac{α}{x + 1} + \frac{β}{x − \frac{1}{2}}

Par exemple en réduisant au même dénominateur puis en identifiant on obtient α = −\frac{2}{3} et β = \frac{2}{3}, donc

f(x) = \frac{1}{1 − x − 2x^{2}} = \frac{−\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{\frac{2}{3}}{x − \frac{1}{2}}

En multipliant par -2/-2 la seconde fraction :

f(x) = \frac{1}{1 − x − 2x^{2}} = \frac{−\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{−\frac{4}{3}}{1 − 2x}

Or

\frac{1}{x + 1} = ∑_{n≥0}(−1)^{n}x^{n}

donc

\frac{−\frac{2}{3}}{x + 1} = ∑_{n≥0}(−1)^{n+1} \frac{2}{3}x^{n}

d’autre part

\frac{1}{1 − 2x} = ∑_{n≥0} 2^{n}x^{n}

Donc

\frac{−\frac{4}{3}}{1 − 2x} = −\frac{4}{3} ∑_{n≥0} 2^{n}x^{n} = ∑_{n≥0} −\frac{2^{n+2}}{3} x^{n}

Donc

\frac{−\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{−\frac{4}{3}}{1 − 2x} = ∑_{n≥0}(−1)^{n+1} \frac{2}{3}x^{n} + ∑_{n≥0} −\frac{2^{n+2}}{3} x^{n}

\frac{−\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{−\frac{4}{3}}{1 − 2x} = \frac{1}{3} ∑_{n≥0}((−1)^{n+1}2 − 2^{n+2})x^{n}

Donc u_{2k} = −\frac{2}{3} − \frac{2^{2k+2}}{3} et u_{2k+1} = \frac{2}{3} − \frac{2^{2k+2}}{3}

Exercice 2 : Décomposition en éléments simples

Décomposer la fraction

T (x) = \frac{x^{3} − 21x − 7}{(x + 2)(x − 1)^{2}(x^{2} + x + 1)}

en éléments simples.

Exercice 2 : éléments de solution

On souhaite écrire T (x) sous la forme suivante :

T (x) = \frac{α}{x + 2} + \frac{β}{x − 1} + \frac{γ}{(x − 1)^{2}} + \frac{δx + μ}{x^{2} + x + 1}

Déterminons α :

T_{α}(x) = (x + 2)T (x) = \frac{x^{3} − 21x − 7}{(x − 1)^{2}(x^{2} + x + 1)}

et selon le cours,

α = T_{α}(−2) = \frac{−8 + 42 − 7}{(−2 − 1)^{2}(4 − 2 + 1)} = \frac{27}{27} = 1

Déterminons γ :

T_{γ}(x) = (x − 1)^{2}T (x) = \frac{x^{3} − 21x − 7}{(x + 2)(x^{2} + x + 1)}

et selon le cours,

γ = T_{γ}(1) = \frac{1 − 21 − 7}{(1 + 2)(1 + 1 + 1)} = −3

En passant par des valeurs particulières : On remarque ensuite que T (0) = \frac{−7}{2}, T (−1) = \frac{13}{4}, T (2) = \frac{−41}{28} donc on en déduit trois équations :

T (0) = \frac{1}{2} + \frac{β}{−1} + \frac{−3}{(−1)^{2}} + \frac{μ}{1} = \frac{−7}{2}

T (0) = \frac{−5}{2} − β + μ = \frac{−7}{2}

−β + μ = \frac{5}{2} + \frac{−7}{2} = \frac{−2}{2} = −1

μ = β − 1

T (−1) = \frac{1}{1} + \frac{β}{−1 − 1} + \frac{−3}{(−1 − 1)^{2}} + \frac{−δ + μ}{1} = \frac{13}{4}

T (−1) = 1 − \frac{β}{2} − \frac{3}{4} − δ + μ = \frac{13}{4}

μ − δ − \frac{β}{2} = \frac{13}{4} + \frac{3}{4} − 1 = \frac{12}{4} = 3

β − 1 − δ − \frac{β}{2} = 3

\frac{β}{2} − δ = 4

δ = \frac{β}{2} − 4

T (2) = \frac{1}{4} + \frac{β}{1} + \frac{−3}{(1)^{2}} + \frac{2δ + μ}{7} = −\frac{41}{28}

T (2) = \frac{1}{4} + β − 3 + \frac{2δ + μ}{7} = −\frac{41}{28}

T (2) = −\frac{11}{4} + β + \frac{2\frac{β}{2} − 8 + β − 1}{7} = \frac{41}{28}

T (2) = −\frac{11}{4} + β + \frac{2β − 9}{7} = \frac{41}{28}

T (2) = \frac{9}{7}β − \frac{77}{28} − \frac{36}{28} = \frac{41}{28}

T (2) = \frac{9}{7}β − \frac{113}{28} = \frac{41}{28}

\frac{9}{7}β = \frac{41}{28} + \frac{113}{28} = \frac{154}{28} = \frac{11}{2}

β = \frac{77}{18}

On en déduit les autres coefficients : δ = \frac{−67}{36} et μ = \frac{41}{36}.

En passant par les racines complexes : On prend le polynôme x^{2} + x + 1 et on calcule ses racines Δ = 1 − 4 = −3 il n’y a donc pas de racines réelles mais il existe deux racines complexes x_{1} = \frac{−1+i\sqrt{3}}{2} et x_{2} = \frac{−1−i\sqrt{3}}{2} donc x^{2} + x + 1 = (x − x_{1})(x − x_{2}) en concéquence nous allons réécrire T (x) :

T (x) = \frac{α}{x + 2} + \frac{β}{x − 1} + \frac{γ}{(x − 1)^{2}} + \frac{a}{x − x_{1}} + \frac{b}{x − x_{2}}

Avec :

\frac{a}{x − x_{1}} + \frac{b}{x − x_{2}} = \frac{δx + μ}{x^{2} + x + 1}

C’est à dire en réduisant au même dénominateur :

\frac{a(x − x_{2})}{(x − x_{1})(x − x_{2})} + \frac{b(x − x_{1})}{(x − x_{1})(x − x_{2})} = \frac{δx + μ}{x^{2} + x + 1}

Dont on déduit a + b = δ et μ = −ax_{2} − bx_{1} On détermine maintenant les deux coéficients a et b :

T_{a}(x) = (x − x_{1})T (x) = \frac{x^{3} − 21x − 7}{(x + 2)(x − 1)^{2}(x − x_{2})}

Et de la même façon que pour les réels, on a :

a = T_{a}(x_{1})

Je ne me lance pas dans les calculs... On fait ensuite la même chose pour calculer b. Une fois les deux coeficients complexes déterminés on calcule δ et μ

Exercice 3 : Nombre de fibonacci

Soit (F_{n})_{n≥0} la suite des nombre de Fibonacc définie par F_{0} = 0, F_{1} = 1 et F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}. Déterminez par la méthode des séries génératrices les nombres de Fibonacci F_{n}

Exercice 3 : Eléments de solutions

Posons :

F (x) = ∑_{i≥0} F_{i}x^{i} = F_{0} + F_{1} + ∑_{i≥2} F_{i}x^{i}

F (x) = F_{0} + F_{1} + ∑_{i≥2}(F_{i−2} + F_{i−1})x^{i}

F (x) = F_{0} + F_{1} + ∑_{i≥2} F_{i−2}x^{i} + ∑_{i≥2} F_{i−1}x^{i}

F (x) = F_{0} + F_{1} + x^{2} ∑_{i≥2} F_{i−2}x^{i−2} + x ∑_{i≥2} F_{i−1}x^{i−1}

F (x) = F_{0} + F_{1} + x^{2} ∑_{i≥0} F_{i}x^{i} + x ∑_{i≥1} F_{i}x^{i}

F (x) = F_{0} + F_{1} + x^{2}F (x) + x(∑_{i≥0} F_{i}x^{i}) − xF_{0}

F (x) = F_{0} + F_{1} + x^{2}F (x) + xF (x) − xF_{0}

(1 − x^{2} − x)F (x) = F_{0} + F_{1} − xF_{0}

F (x) = \frac{F_{0} + F_{1} − xF_{0}}{1 − x^{2} − x}

Soit dans le cas qui nous concerne :

F (x) = \frac{1}{1 − x^{2} − x} = \frac{1}{(x − x_{1})(x − x_{2})}

Car 1 − x^{2} − x est un polynôme ayant deux racines réelles : x_{1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, x_{2} = \frac{1−\sqrt{5}}{2}

On veut écrire F (x) sous la forme d’une somme de fraction simple :

F (x) = \frac{a}{x − x_{1}} + \frac{b}{x − x_{2}}

T_{a}(x) = (x − x_{1})F (x) = \frac{1}{x − x_{2}}

a = T_{a}(x_{1})\frac{1}{x_{1} − x_{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

T_{b}(x) = (x − x_{2})F (x) = \frac{1}{x − x_{1}}

b = T_{b}(x_{2}) = \frac{1}{x_{2} − x_{1}} = −\frac{1}{\sqrt{5}} = −\frac{\sqrt{5}}{5}

Donc

F (x) = \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{1}{(x − x_{1})} − \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{1}{(x − x_{2})}

F (x) = −\frac{\sqrt{5}}{5} \frac{1}{(x_{1} − x)} + \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{1}{(x_{2} − x)}

F (x) = −\frac{\sqrt{5}}{5x_{1}} \frac{1}{(1 − \frac{x}{x_{1}} )} + \frac{\sqrt{5}}{5x_{2}} \frac{1}{1 − \frac{x}{x_{2}}}

Or \frac{1}{x_{1}} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{2(1−\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1−\sqrt{5})} \frac{1}{x_{1}} = −\frac{1−\sqrt{5}}{2} = −x_{2} De même : \frac{1}{x_{2}} = −x^{1}.

F (x) = \frac{\sqrt{5}x_{2}}{5} \frac{1}{1 − (−x_{2})x} − \frac{\sqrt{5}x_{1}}{5} \frac{1}{1 − (−x_{1})x}

Or

\frac{1}{1 − αx} = ∑_{n≥0} α^{n}x^{n}

Donc

F_{n} = \frac{\sqrt{5}x_{2}}{5} (−x_{2})^{n} − \frac{\sqrt{5}x_{1}}{5} (−x_{1})^{n}