Exercice 1 : Idées de résolution.

Exercice 1 : Idées de résolution.

f(x) = 1 + xf(x) + 2x²f(x)

Exprimons f(x) en fonction de x on obtient :

En cherchant les racines du polynôme 1 - x - 2x² on obtient x₁ = -1 x₂ = (1)/(2).

On cherchera donc deux valeurs alpha et beta telles que f(x) = (1)/(1 - x - 2x^2) = (alpha)/(x+1) + (beta)/(x-(1)/(2))

Par exemple en réduisant au même dénominateur puis en identifiant on obtient alpha= -2 et beta= 2, donc

En multipliant par -2/-2 la seconde fraction :

Or (1)/(x+1) = SUM_n >= 0 (-1)^n x^n donc (-2)/(x+1) = SUM_n >= 0 (-1)^n+1 2 x^n d'autre part (1)/(1-2x) = SUM_n >= 0 2^n x^n Donc (-4)/(1-2x) = -4 SUM_n >= 0 2^n x^n = SUM_n >= 0- 2^n+2 x^n Donc (-2)/(x+1) + (-4)/(1-2x) = SUM_n >= 0 (-1)^n+1 2 x^n + SUM_n >= 0- 2^n+2 x^n (-2)/(x+1) + (-4)/(1-2x) = SUM_n >= 0 ((-1)^n+1 2 - 2^n+2) x^n

Donc u₂k = - 2 - 2^2k+2 et u_2k+1 = 2 - 2^2k+3

Exercice 1 : Idées de résolution.