| | | Exercice 2 : éléments de solution |
On souhaite écrire T(x) sous la forme suivante : T(x) = (alpha)/(x+2) + (beta)/(x-1) + (gamma)/((x-1)^2)+ (deltax +µ)/(x^2+x+1)
Déterminons alpha : T_alpha(x) = (x+2) T(x) = (x^3-21x-7)/((x-1)^2(x^2+x+1)) et selon le cours, alpha= T_alpha(-2) = (-8 -42 -7)/((-2-1)^2(4-2+1))=(-57)/(27)=(-19)/(9)
Déterminons gamma : T_gamma(x) = (x-1)^2 T(x) = (x^3-21x-7)/((x+2)(x^2+x+1)) et selon le cours, gamma= T_gamma(1) = (1-21-7)/((1+2)(1+1+1)) = 3
En passant par des valeurs particulières : On remarque ensuite que T(0) = (-7)/(2), T(-1) = (13)/(4), T(2) = (-41)/(28) donc on en déduit trois équations : T(0) = ((-19)/(9))/(2) + (beta)/(-1) + (3)/((-1)^2)+ (µ)/(1)=(-7)/(2) T(0) = (-19)/(18) - beta+ µ= (-7)/(2) - beta+ µ= (19)/(18) + (-7)/(2) = (-54)/(18)=-3 µ= beta- 3
T(-1) = ((-19)/(9))/(1) + (beta)/(-1-1) + (3)/((-1-1)^2)+ (-delta+µ)/(1) = (13)/(4) T(-1) = (-19)/(9) - (beta)/(2) + (3)/(4) -delta+µ= (13)/(4) µ-delta- (beta)/(2) = (13)/(4) - (3)/(4) + (19)/(9) =(83)/(18) beta- 3 -delta- (beta)/(2) = (13)/(4) - (3)/(4) + (19)/(9) =(83)/(18) (beta)/(2) -delta= (137)/(18) delta= (beta)/(2) - (137)/(18) T(2) = ((-19)/(9))/(4) + (beta)/(1) + (3)/((1)^2)+ (2delta+µ)/(7)=(83)/(18) T(2) = (-19)/(36) +beta+ 3 + (2delta+µ)/(7) =(83)/(18) T(2) = (89)/(36) +beta+ (2(beta)/(2) - 2(137)/(18) +beta- 3)/(7) =(83)/(18) T(2) = (89)/(36) +beta+ (2beta- (137)/(9) - 3)/(7) =(83)/(18) beta+ (2beta- (164)/(9))/(7) = (77)/(36) (9)/(7) beta= (77)/(36) + (164)/(63)=(539+656)/(252)=(795)/(252)=(265)/(84) beta= (265)/(108)On en déduit les autres coefficients : delta= (-146)/(54) et µ= (59)/(108).
En passant par les racines complexes : On prend le polynôme x2+x+1 et on calcule ses racines Delta= 1 - 4 = -3 il n'y a donc pas de racines réelle mais il existe deux racines complexes x1 = (-1 + i sqrt(3))/(2) et x2 = (-1 - i sqrt(3))/(2) donc x2+x+1 = (x-x1)(x-x2) en concéquence nous allons réécrire T(x) : T(x) = (alpha)/(x+2) + (beta)/(x-1) + (gamma)/((x-1)^2)+ (a)/(x-x_1) + (b)/(x-x_2) Avec : (a)/(x-x_1) + (b)/(x-x_2) = (deltax +µ)/(x^2+x+1) C'est à dire en réduisant au même dénominateur : (a(x-x_2))/((x-x_1)(x-x_2)) + (b(x-x_1))/((x-x_1)(x-x_2)) = (deltax +µ)/(x^2+x+1) Dont on déduit a+b = delta et µ= - ax2 - bx1
On détermine maintenant les deux coéficients a et b : T_a(x) = (x-x_1) T(x)= (x^3-21x-7)/((x+2)(x-1)^2(x-x_2)) a=T_a(x_1)= (1 + (21)/(2) -21 i (sqrt(3))/(2) - 7)/((1+i(sqrt(3))/(2))(-2+i(sqrt(3))/(2))^2(isqrt(3))) a = ((9)/(2))/((isqrt(3) - (3)/(2))(4-(sqrt(3))/(2) - 2isqrt(3))) a = ((9)/(2))/((3sqrt(3))/(4)+i(7sqrt(3)- (3)/(2)))
On fait ensuite la même chose pour calculer b.
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